Komplemen \(\R\setminus K\) terbuka: jika \(x\notin K\text{,}\) himpunan basis \((x-1,x+1)\setminus K\) memuat \(x\) dan termuat dalam komplemen. Jadi \(K\) tertutup, sedangkan \(0\notin K\text{.}\)

Ambil sebarang lingkungan terbuka \(U\) dari \(0\text{.}\) Dari bentuk basis, ada \(\epsilon\gt0\) sehingga \((-\epsilon,\epsilon)\setminus K\subseteq U\text{.}\) Ambil sebarang himpunan terbuka \(V\) yang memuat \(K\text{.}\) Pilih \(n\) cukup besar sehingga \(0\lt1/n\lt\epsilon/2\text{.}\) Karena \(1/n\in V\cap K\text{,}\) himpunan \(V\) memuat unsur basis yang mengandung \(1/n\text{.}\) Unsur ini harus interval terbuka biasa: himpunan berbentuk \((a,b)\setminus K\) tidak memuat titik \(K\text{.}\) Interval tersebut beririsan dengan \((-\epsilon,\epsilon)\setminus K\text{,}\) misalnya pada suatu titik irasional yang cukup dekat dengan \(1/n\text{.}\) Maka \(U\cap V\neq\emptyset\text{.}\)

Jadi titik \(0\) dan himpunan tertutup \(K\) tidak dapat dipisahkan, sehingga ruang ini tidak reguler. Jika topologi tersebut berasal dari suatu metrik, ruangnya harus reguler; kontradiksi. Maka \((\R,\tau_K)\) tidak termetriskan.