Misalkan \(C,D\) tertutup dan saling lepas; kasus ketika salah satunya kosong bersifat langsung. Fungsi jarak ke himpunan bersifat Lipschitz dan karenanya kontinu. Jadi himpunan
\begin{equation*}
U=\{x\in X\mid d(x,C)\lt d(x,D)\},\qquad
V=\{x\in X\mid d(x,D)\lt d(x,C)\}
\end{equation*}
terbuka. Jika \(c\in C\text{,}\) maka \(d(c,C)=0\) dan \(d(c,D)\gt0\) karena \(D\) tertutup serta \(c\notin D\text{;}\) jadi \(C\subseteq U\text{.}\) Demikian pula \(D\subseteq V\text{.}\) Ketaksamaan yang mendefinisikan \(U\) dan \(V\) tidak mungkin berlaku sekaligus, sehingga \(U\cap V=\emptyset\text{.}\) Ruang metrik juga \(T_1\text{,}\) maka syarat normal terpenuhi di bawah kedua konvensi umum.