Misalkan \(C\) tertutup dan \(x\notin C\text{.}\) Jika \(C\) kosong, pemisahan langsung. Jika tidak, tetapkan \(\delta=d(x,C)\gt0\text{.}\) Definisikan \(U=B(x,\delta/3)\) dan \(V=\bigcup_{c\in C}B(c,\delta/3)\text{.}\) Keduanya terbuka, \(x\in U\text{,}\) dan \(C\subseteq V\text{.}\) Jika \(z\in U\cap V\text{,}\) ada \(c\in C\) dengan \(d(z,c)\lt\delta/3\text{,}\) sehingga \(d(x,c)\leq d(x,z)+d(z,c)\lt2\delta/3\text{.}\) Ini bertentangan dengan \(\delta\leq d(x,c)\text{.}\) Maka \(U\cap V=\emptyset\text{.}\)

Selain itu, setiap himpunan beranggota tunggal bersifat tertutup dalam ruang metrik: untuk \(y\neq x\text{,}\) bola \(B(y,d(x,y)/2)\) menghindari \(x\text{,}\) sehingga \(X\setminus\{x\}\) terbuka. Jadi pembuktian memenuhi pula konvensi bahwa ruang reguler harus bersifat \(T_1\text{.}\)