Ambil himpunan terbuka Zariski tak kosong \(U,V\text{.}\) Masing-masing memuat unsur basis tak kosong, katakan \(D(f)\subseteq U\) dan \(D(g)\subseteq V\text{.}\) Karena kedua unsur basis tak kosong, \(f\) dan \(g\) bukan polinom nol. Gelanggang polinom \(\R[x_1,\ldots,x_n]\) merupakan daerah integral, sehingga \(fg\) bukan polinom nol. Polinom real bukan nol tidak lenyap di seluruh \(\R^n\text{;}\) akibatnya \(D(fg)\) tak kosong. Karena \(D(fg)=D(f)\cap D(g)\text{,}\) diperoleh \(U\cap V\neq\emptyset\text{.}\)

Untuk \(n\geq1\text{,}\) ruang \(\R^n\) mempunyai dua titik berbeda. Jika ruang itu Hausdorff, kedua titik tersebut mempunyai lingkungan terbuka tak kosong yang saling lepas, bertentangan dengan hasil di atas. Jadi ruang Zariski ini bukan Hausdorff.