Pemeriksaan M.55. Verifikasi basis topologi Titik Asal Ganda.
Acuan sumber: latihan topologi Titik Asal Ganda, tugas pertama. Misalkan \(X=\R^2\cup\{0^*\}\text{,}\) dengan \(0^*\notin\R^2\text{.}\) Koleksi kandidat basis terdiri dari bola-bola terbuka Euklides standar yang berpusat di setiap titik selain \(0\) dan \(0^*\text{,}\) bersama, untuk setiap \(r\gt0\text{,}\)
\begin{equation*}
N(0,r) = \left\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \lt \frac{1}{r^2}, y \gt 0\right\} \cup \{0\}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
N(0^*, r) = \left\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \lt \frac{1}{r^2}, y \lt 0\right\} \cup \{0^*\}
\end{equation*}
Buktikan bahwa koleksi tersebut benar-benar merupakan basis bagi suatu topologi pada \(X\text{.}\) Rubrik: verifikasi harus membuktikan sifat menutupi \(X\) dan, untuk titik di irisan dua kandidat unsur basis, menghasilkan unsur basis yang lebih kecil. Kasus titik biasa, \(0\text{,}\) dan \(0^*\) harus terlihat.