Koleksi tersebut menutupi \(X\text{:}\) titik \(0\) berada dalam setiap \(N(0,r)\text{,}\) titik \(0^*\) berada dalam setiap \(N(0^*,r)\text{,}\) dan setiap \(q\in\R^2\setminus\{0\}\) berada dalam bola Euklides yang berpusat di \(q\text{.}\)

Ambil dua unsur kandidat basis \(B_1,B_2\) dan \(q\in B_1\cap B_2\text{.}\) Jika \(q\in\R^2\setminus\{0\}\text{,}\) bagian planar setiap \(B_i\) yang memuat \(q\) terbuka secara Euklides di sekitar \(q\text{.}\) Karena itu ada bola Euklides cukup kecil yang berpusat di \(q\text{,}\) memuat \(q\text{,}\) dan termuat dalam \(B_1\cap B_2\text{.}\) Bola ini merupakan unsur kandidat basis.

Jika \(q=0^*\text{,}\) kedua \(B_i\) harus berbentuk \(N(0^*,r_i)\text{.}\) Dengan \(t=\max\{r_1,r_2\}\text{,}\) berlaku \(0^*\in N(0^*,t)\subseteq B_1\cap B_2\text{.}\)

Terakhir, misalkan \(q=0\text{.}\) Unsur kandidat basis yang memuat \(0\) dapat berupa \(N(0,r)\) atau bola Euklides biasa yang juga memuat \(0\text{.}\) Setiap bola biasa di antara \(B_1,B_2\) memuat suatu cakram Euklides berjari-jari \(\epsilon_i\gt0\) yang berpusat di \(0\text{.}\) Pilih \(t\gt0\) sedemikian sehingga \(1/t\leq\epsilon_i\) untuk setiap bola biasa yang muncul, dan \(t\geq r_i\) untuk setiap himpunan khusus \(N(0,r_i)\) yang muncul. Maka \(0\in N(0,t)\subseteq B_1\cap B_2\text{.}\) Jadi aksioma irisan basis terpenuhi dalam semua kasus, dan koleksi itu merupakan basis.