Ambil \(x\in\Bdry(A)\text{.}\) Jika \(x\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{,}\) dan setiap titik pertemuan berbeda dari \(x\text{.}\) Jadi setiap lingkungan bertemu \(A\setminus\{x\}\text{,}\) sehingga \(x\) adalah titik limit.

Sekarang andaikan \(x\in A\text{.}\) Jika setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\setminus\{x\}\text{,}\) maka \(x\) titik limit. Jika tidak, ada lingkungan \(N\) dari \(x\) dengan \(N\cap(A\setminus\{x\})=\emptyset\text{.}\) Karena \(x\in N\cap A\text{,}\) diperoleh \(N\cap A=\{x\}\text{,}\) sehingga \(x\) titik terasing. Pembuktian ini hanya memakai definisi lingkungan dan berlaku tanpa asumsi metrik.