Misalkan \(Y\) subruang dari ruang Hausdorff \(X\text{,}\) dan ambil titik berbeda \(y_1,y_2\in Y\text{.}\) Karena \(X\) Hausdorff, ada himpunan terbuka \(U,V\subseteq X\) dengan \(y_1\in U\text{,}\) \(y_2\in V\text{,}\) dan \(U\cap V=\emptyset\text{.}\) Himpunan \(U\cap Y\) dan \(V\cap Y\) terbuka di \(Y\text{,}\) masing-masing memuat \(y_1\) dan \(y_2\text{,}\) serta saling lepas. Jadi \(Y\) Hausdorff.