Jelas \(A\subseteq\overline{A}\text{.}\) Jika \(x\in\Bdry(A)\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{;}\) maka \(x\in\overline{A}\text{.}\) Jadi \(A\cup\Bdry(A)\subseteq\overline{A}\text{.}\)

Sebaliknya, ambil \(x\in\overline{A}\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(x\in A\cup\Bdry(A)\text{.}\) Jika \(x\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\) karena \(x\in\overline{A}\text{,}\) dan juga bertemu \(A^c\) karena lingkungan itu memuat \(x\in A^c\text{.}\) Jadi \(x\in\Bdry(A)\text{.}\) Ini membuktikan inklusi sebaliknya dan karenanya kesamaan.