Solusi L.87.1.
Ambil sembarang \(U\in\tau\text{.}\) Untuk setiap \(x\in U\text{,}\) himpunan \(U\) adalah himpunan \(\tau\)-terbuka yang memuat \(x\text{,}\) sehingga \(U\) merupakan lingkungan \(\tau\) dari \(x\text{.}\) Berdasarkan hipotesis, \(U\) juga merupakan lingkungan \(\sigma\) dari \(x\text{.}\) Oleh definisi lingkungan, terdapat \(V_x\in\sigma\) dengan \(x\in V_x\subseteq U\text{.}\)
Setiap \(V_x\) termuat dalam \(U\text{,}\) sedangkan setiap titik \(x\in U\) berada dalam \(V_x\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
U=\bigcup_{x\in U}V_x.
\end{equation*}
Gabungan sebarang himpunan \(\sigma\)-terbuka bersifat \(\sigma\)-terbuka, sehingga \(U\in\sigma\text{.}\) Maka \(\tau\subseteq\sigma\text{.}\)
Hipotesis kesamaan lingkungan bersifat simetris. Mengulangi argumen dengan \(\tau\) dan \(\sigma\) ditukar menghasilkan \(\sigma\subseteq\tau\text{.}\) Oleh sebab itu \(\tau=\sigma\text{,}\) jadi data semua lingkungan memang menentukan topologi secara unik.