Solusi L.85.1.
Jelas \(\rho(x,y)\geq0\text{,}\) simetris, dan \(\rho(x,y)=0\) tepat ketika \(d(x,y)=0\text{,}\) yakni ketika \(x=y\text{.}\) Untuk pertidaksamaan segitiga, tulis \(a=d(x,y)\) dan \(b=d(y,z)\text{.}\) Dari pertidaksamaan segitiga bagi \(d\text{,}\)
\begin{equation*}
\rho(x,z)\leq\min\{1,a+b\}
\leq\min\{1,a\}+\min\{1,b\}.
\end{equation*}
Untuk membuktikan pertidaksamaan kedua, jika \(a\geq1\) atau \(b\geq1\text{,}\) ruas kanan sedikitnya \(1\text{,}\) sedangkan ruas kiri paling besar \(1\text{.}\) Jika \(a,b\lt1\text{,}\) ruas kanan adalah \(a+b\) dan ruas kiri paling besar \(a+b\text{.}\) Jadi \(\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)\text{,}\) dan \(\rho\) merupakan metrik.
Untuk \(0\lt r\leq1\text{,}\) kondisi \(\rho(x,y)\lt r\) ekuivalen dengan \(d(x,y)\lt r\text{.}\) Memang, bila minimum \(\min\{1,d(x,y)\}\) lebih kecil daripada \(r\leq1\text{,}\) nilai minimum itu tidak mungkin berasal dari \(1\text{;}\) arah sebaliknya langsung. Jadi \(B_\rho(x,r)=B_d(x,r)\) untuk semua radius tersebut.
Jika \(U\) terbuka terhadap \(d\) dan \(x\in U\text{,}\) pilih \(\epsilon>0\) dengan \(B_d(x,\epsilon)\subseteq U\text{,}\) lalu tetapkan \(r=\min\{\epsilon,1/2\}\text{.}\) Bola \(B_\rho(x,r)=B_d(x,r)\) termuat dalam \(U\text{,}\) sehingga \(U\) terbuka terhadap \(\rho\text{.}\) Argumen yang sama dengan peran metrik ditukar memberi arah balik. Maka topologinya sama. Namun setiap jarak \(d(x,y)\geq1\) menjadi tepat \(1\) di bawah \(\rho\text{;}\) data jarak skala besar itu hilang meskipun data keterbukaan lokal tetap.