Pemeriksaan L.83. Dua basis, satu topologi.
Misalkan \(\mathcal B\) dan \(\mathcal C\) basis pada himpunan \(X\text{.}\) Buktikan bahwa keduanya membangkitkan topologi yang sama jika dan hanya jika berlaku dua syarat pemurnian lokal berikut:
- untuk setiap \(x\in B\in\mathcal B\text{,}\) terdapat \(C\in\mathcal C\) dengan \(x\in C\subseteq B\text{;}\)
- untuk setiap \(x\in C\in\mathcal C\text{,}\) terdapat \(B\in\mathcal B\) dengan \(x\in B\subseteq C\text{.}\)
Kemudian gunakan kriteria ini untuk membuktikan bahwa semua interval terbuka \((a,b)\) dan semua interval terbuka \((p,q)\) dengan \(p,q\in\Q\) membangkitkan topologi Euklides yang sama pada \(\R\text{.}\) Verifikasi bahwa koleksi kedua memang basis.