Andaikan syarat pertama berlaku. Untuk setiap \(B\in\mathcal B\) dan setiap \(x\in B\text{,}\) pilih \(C_x\in\mathcal C\) dengan \(x\in C_x\subseteq B\text{.}\) Maka \(B=\bigcup_{x\in B}C_x\text{,}\) sehingga setiap anggota \(\mathcal B\) terbuka dalam topologi yang dibangkitkan \(\mathcal C\text{.}\) Setiap himpunan terbuka yang dibangkitkan \(\mathcal B\) adalah gabungan anggota \(\mathcal B\text{,}\) jadi juga terbuka dalam topologi \(\mathcal C\text{.}\) Dengan demikian \(\tau_{\mathcal B}\subseteq\tau_{\mathcal C}\text{.}\) Syarat kedua memberi inklusi balik dengan argumen yang sama.

Sebaliknya, andaikan \(\tau_{\mathcal B}=\tau_{\mathcal C}\text{.}\) Jika \(x\in B\in\mathcal B\text{,}\) himpunan \(B\) terbuka dalam topologi \(\mathcal C\text{.}\) Karena \(\mathcal C\) basis, ada \(C\in\mathcal C\) dengan \(x\in C\subseteq B\text{.}\) Ini memberi syarat pertama; menukar peran kedua basis memberi syarat kedua.

Sekarang tetapkan \(\mathcal B_E=\{(a,b)\mid a,b\in\R,\ a\lt b\}\) dan \(\mathcal B_{\Q}=\{(p,q)\mid p,q\in\Q,\ p\lt q\}\text{.}\) Setiap \(x\in\R\) berada dalam interval berujung rasional karena terdapat \(p,q\in\Q\) dengan \(p\lt x\lt q\text{.}\) Jika \(x\) berada dalam irisan dua interval berujung rasional, kerapatan bilangan rasional menyediakan \(r,s\in\Q\) sehingga \(\max(p_1,p_2)\lt r\lt x\lt s\lt\min(q_1,q_2)\text{.}\) Maka \(x\in(r,s)\) dan interval ini terkandung dalam irisan. Jadi \(\mathcal B_{\Q}\) adalah basis.

Karena \(\mathcal B_{\Q}\subseteq\mathcal B_E\text{,}\) setiap anggota basis rasional sudah merupakan anggota basis Euklides. Sebaliknya, jika \(x\in(a,b)\text{,}\) pilih bilangan rasional \(p,q\) dengan \(a\lt p\lt x\lt q\lt b\text{.}\) Maka \(x\in(p,q)\subseteq(a,b)\text{.}\) Kriteria pemurnian lokal dua arah membuktikan bahwa kedua basis membangkitkan topologi yang sama.