Solusi L.81.1.
Ambil dua himpunan terbuka tak kosong \(U,V\text{.}\) Komplemen \(X\setminus U\) dan \(X\setminus V\) berhingga. Hukum De Morgan memberi
\begin{equation*}
X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V),
\end{equation*}
sehingga komplemen \(U\cap V\) berhingga. Jika \(U\cap V=\emptyset\text{,}\) komplemennya adalah seluruh \(X\text{,}\) yang akan berhingga; ini bertentangan dengan hipotesis. Jadi \(U\cap V\neq\emptyset\text{.}\)
Jika \(A=\emptyset\) atau \(X\setminus A\) berhingga, maka \(A\) sendiri terbuka dan karenanya \(\Int(A)=A\text{.}\) Sekarang andaikan \(A\) tidak terbuka. Bila terdapat himpunan terbuka tak kosong \(O\subseteq A\text{,}\) maka \(X\setminus A\subseteq X\setminus O\text{.}\) Ruas kanan berhingga, sehingga \(X\setminus A\) juga berhingga dan \(A\) terbuka, sebuah kontradiksi. Jadi tidak ada himpunan terbuka tak kosong di dalam \(A\text{,}\) dan \(\Int(A)=\emptyset\text{.}\)
Untuk \(x\in X\text{,}\) komplemen \(\{x\}\) tak berhingga, sehingga \(\{x\}\) tidak terbuka; maka topologi tidak diskret. Sebaliknya, \(X\setminus\{x\}\) mempunyai komplemen berhingga dan merupakan himpunan terbuka yang bukan \(\emptyset\) maupun \(X\text{.}\) Jadi topologi juga tidak indiskret.