Ambil titik sembarang \(x\in O\text{.}\) Karena \(O\in\tau\) dan \(x\in O\text{,}\) definisi lingkungan menyatakan bahwa \(O\) merupakan lingkungan dari \(x\text{:}\) kita dapat memilih himpunan terbuka \(O\) itu sendiri, dengan \(x\in O\subseteq O\text{.}\) Selain itu, hipotesis memberi \(O\subseteq A\text{.}\) Jadi ada himpunan terbuka yang memuat \(x\) dan terkandung dalam \(A\text{,}\) tepatnya \(O\text{;}\) menurut definisi, \(x\) adalah titik interior dari \(A\) dan \(x\in\Int(A)\text{.}\) Karena \(x\) dipilih sembarang, setiap titik \(O\) berada di \(\Int(A)\text{,}\) sehingga \(O\subseteq\Int(A)\text{.}\) Inilah syarat kemaksimalan yang melengkapi pembuktian teorema interior.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk memakai keterbukaan \(O\) sebagai lingkungan, 1 poin untuk memakai \(O\subseteq A\text{,}\) dan 1 poin untuk memperluas argumen dari titik sembarang menjadi inklusi himpunan.