Untuk arah yang belum dibuktikan, andaikan \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titik \(a\in O\text{.}\) Maka untuk setiap titik tersebut terdapat \(O_a\in\tau\) sehingga \(a\in O_a\subseteq O\text{.}\) Letakkan \(U=\bigcup_{a\in O}O_a\text{.}\) Dari inklusi \(O_a\subseteq O\) untuk semua \(a\text{,}\) diperoleh \(U\subseteq O\text{.}\) Jika \(a\in O\text{,}\) maka \(a\in O_a\subseteq U\text{,}\) sehingga \(O\subseteq U\text{.}\) Jadi \(O=U\text{.}\) Aksioma topologi menyatakan bahwa gabungan sebarang anggota \(\tau\) adalah anggota \(\tau\text{,}\) maka \(U\in\tau\) dan \(O\in\tau\text{.}\) Untuk \(O=\emptyset\text{,}\) indeks gabungan kosong memberi \(U=\emptyset\in\tau\text{,}\) sehingga argumen tetap berlaku. Bersama arah pertama pada teorema sumber—himpunan terbuka merupakan lingkungan setiap titiknya—ini menyelesaikan karakterisasi tersebut.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk menghubungkan hipotesis dengan pilihan \(O_a\text{,}\) 1 poin untuk kesetaraan gabungan, 1 poin untuk aksioma gabungan, dan 1 poin untuk menyebutkan arah pertama atau menangani kasus \(O=\emptyset\text{.}\)