Solusi L.72.1.
Mula-mula ambil anggota basis Zariski \(D(f)\text{.}\) Jika \(f\) adalah polinom nol, maka \(Z(f)=\R\) dan \(D(f)=\emptyset\text{.}\) Jika \(f\) tak nol, teorema akar polinom satu variabel menyatakan bahwa \(Z(f)\) berhingga, sehingga \(D(f)=\R\setminus Z(f)\) bersifat kofinit.
Himpunan terbuka Zariski adalah gabungan anggota-anggota basis itu. Gabungan kosong adalah \(\emptyset\text{.}\) Jika sebuah gabungan tidak kosong, pilih satu anggota basis tak kosong \(D(f_0)\) di dalam gabungan tersebut. Komplemen seluruh gabungan terkandung dalam \(\R\setminus D(f_0)=Z(f_0)\text{,}\) yang berhingga. Jadi setiap himpunan terbuka Zariski adalah kosong atau kofinit, dan karenanya terbuka dalam topologi kofinit.
Sebaliknya, misalkan \(U\) terbuka kofinit. Kasus \(U=\emptyset\) sudah diberikan oleh \(D(0)\text{.}\) Jika \(U=\R\setminus F\) untuk suatu himpunan berhingga \(F\text{,}\) definisikan
\begin{equation*}
p_F(x)=\prod_{a\in F}(x-a).
\end{equation*}
Bila \(F=\emptyset\text{,}\) hasil kali kosong adalah \(1\) dan \(D(p_F)=\R\text{.}\) Bila \(F\) tak kosong, tepat titik-titik \(a\in F\) yang menjadi akar \(p_F\text{,}\) sehingga \(Z(p_F)=F\) dan \(D(p_F)=\R\setminus F=U\text{.}\) Jadi setiap himpunan terbuka kofinit adalah terbuka Zariski. Kedua topologi tersebut sama.