Solusi L.71.1.
Andaikan, untuk memperoleh kontradiksi, bahwa \(S\) terbuka. Titik asal berada dalam \(S\text{.}\) Karena himpunan-himpunan \(D(f)\) merupakan basis, terdapat \(f\in\mathcal P_2\) dengan
\begin{equation*}
(0,0)\in D(f)\subseteq S.
\end{equation*}
Keanggotaan pertama berarti \(f(0,0)\neq0\text{.}\) Sementara itu, bila \(x\neq0\) dan \(y\neq0\text{,}\) titik \((x,y)\) tidak berada pada salah satu sumbu, sehingga \((x,y)\notin S\) dan karenanya \((x,y)\notin D(f)\text{.}\) Jadi \(f(x,y)=0\) untuk semua \(x\neq0\) dan \(y\neq0\text{.}\)
Tetapkan sembarang \(y_0\neq0\text{.}\) Polinom satu variabel \(p_{y_0}(x)=f(x,y_0)\) bernilai nol untuk setiap \(x\in\R\setminus\{0\}\text{.}\) Karena polinom satu variabel tak nol hanya mempunyai berhingga banyak akar, \(p_{y_0}\) harus merupakan polinom nol. Maka \(f(x,y_0)=0\) untuk setiap \(x\in\R\) dan setiap \(y_0\neq0\text{.}\)
Sekarang tetapkan sembarang \(x_0\in\R\text{.}\) Polinom satu variabel \(q_{x_0}(y)=f(x_0,y)\) bernilai nol untuk semua \(y\neq0\text{,}\) sehingga ia juga polinom nol. Khususnya \(f(x_0,0)=0\text{.}\) Karena \(x_0\) sebarang, \(f\) bernilai nol di seluruh \(\R^2\text{,}\) termasuk \(f(0,0)=0\text{.}\) Ini bertentangan dengan \(f(0,0)\neq0\text{.}\) Jadi \(S\) tidak terbuka dalam topologi Zariski. Fakta tambahan bahwa \(S=Z(x_1x_2)\) memang menunjukkan bahwa \(S\) tertutup, tetapi fakta itu sendiri bukan alasan ketidakterbukaannya.