Menurut definisi, \(\emptyset\in\tau_p\) dan \(X\in\tau_p\text{.}\) Ambil keluarga sebarang \(\mathcal U\subseteq\tau_p\text{.}\) Jika semua anggotanya kosong, atau jika \(\mathcal U\) sendiri kosong, gabungannya adalah \(\emptyset\in\tau_p\text{.}\) Jika tidak, ada anggota tak kosong \(U_0\in\mathcal U\text{.}\) Setiap anggota tak kosong \(\tau_p\) memuat \(p\text{,}\) sehingga \(p\in U_0\) dan karenanya \(p\in\bigcup\mathcal U\text{.}\) Jadi gabungan tersebut juga anggota \(\tau_p\text{.}\)

Sekarang ambil sejumlah berhingga anggota \(\tau_p\text{.}\) Jika salah satunya \(\emptyset\text{,}\) irisannya adalah \(\emptyset\text{.}\) Jika tidak, setiap faktor memuat \(p\text{,}\) sehingga irisannya memuat \(p\) dan termasuk dalam \(\tau_p\text{.}\) Irisan keluarga kosong adalah \(X\text{,}\) yang juga berada dalam \(\tau_p\text{.}\) Dengan demikian semua aksioma topologi dipenuhi, jadi \(\tau_p\) adalah topologi titik tertentu pada \(X\text{.}\)