Solusi L.57.1.
Pertama, \(\emptyset\in\tau\) menurut definisi dan \(\Z^+=O_1\in\tau\text{.}\) Jadi kedua himpunan yang diwajibkan oleh aksioma topologi sudah tersedia.
Ambil keluarga sebarang \(\mathcal U\subseteq\tau\text{.}\) Jika keluarga itu tidak memuat satu pun himpunan ekor, maka gabungannya adalah \(\emptyset\text{.}\) Jika \(I=\{n\in\Z^+\mid O_n\in\mathcal U\}\) tak kosong, prinsip urutan baik memberi \(m=\min I\text{.}\) Karena \(O_n\subseteq O_m\) untuk setiap \(n\in I\text{,}\) dan \(O_m\) sendiri muncul dalam keluarga, berlaku
\begin{equation*}
\bigcup_{U\in\mathcal U}U=O_m\in\tau.
\end{equation*}
Ini juga mencakup keluarga yang mungkin memuat \(\emptyset\text{,}\) yang tidak mengubah gabungan.
Untuk irisan berhingga, bila salah satu faktor adalah \(\emptyset\text{,}\) hasilnya \(\emptyset\in\tau\text{.}\) Jika semua faktor berbentuk \(O_{n_1},\ldots,O_{n_k}\) dengan \(k\geq1\text{,}\) ambil \(M=\max\{n_1,\ldots,n_k\}\text{.}\) Sifat bersarang himpunan ekor memberi
\begin{equation*}
O_{n_1}\cap\cdots\cap O_{n_k}=O_M\in\tau.
\end{equation*}
Irisan keluarga kosong adalah seluruh ruang \(\Z^+=O_1\text{.}\) Jadi \(\tau\) tertutup terhadap gabungan sebarang dan irisan berhingga; akibatnya \((\Z^+,\tau)\) adalah ruang topologi.