Jawaban L.56.1.
Gunakan singkatan \(A=\{a\}\text{,}\) \(B=\{b\}\text{,}\) \(C=\{c\}\text{,}\) \(AB=\{a,b\}\text{,}\) \(AC=\{a,c\}\text{,}\) dan \(BC=\{b,c\}\text{.}\) Semua daftar berikut juga memuat \(\emptyset\) dan \(X\) seperti yang dituliskan; setiap baris adalah satu topologi yang berbeda.
Dua himpunan terbuka (1 topologi):
\begin{equation*}
\{\emptyset,X\}.
\end{equation*}
Tiga himpunan terbuka (6 topologi):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\{\emptyset,A,X\},\quad \{\emptyset,B,X\},\quad
\{\emptyset,C,X\},\\
\{\emptyset,AB,X\},\quad \{\emptyset,AC,X\},\quad
\{\emptyset,BC,X\}.
\end{gathered}
\end{equation*}
Empat himpunan terbuka (9 topologi):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\{\emptyset,A,AB,X\},\quad
\{\emptyset,A,AC,X\},\quad
\{\emptyset,A,BC,X\},\\
\{\emptyset,B,AB,X\},\quad
\{\emptyset,B,AC,X\},\quad
\{\emptyset,B,BC,X\},\\
\{\emptyset,C,AB,X\},\quad
\{\emptyset,C,AC,X\},\quad
\{\emptyset,C,BC,X\}.
\end{gathered}
\end{equation*}
Lima himpunan terbuka (6 topologi):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\{\emptyset,A,B,AB,X\},\quad
\{\emptyset,A,C,AC,X\},\quad
\{\emptyset,B,C,BC,X\},\\
\{\emptyset,A,AB,AC,X\},\quad
\{\emptyset,B,AB,BC,X\},\quad
\{\emptyset,C,AC,BC,X\}.
\end{gathered}
\end{equation*}
Enam himpunan terbuka (6 topologi):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\{\emptyset,A,B,AB,AC,X\},\quad
\{\emptyset,A,B,AB,BC,X\},\\
\{\emptyset,A,C,AB,AC,X\},\quad
\{\emptyset,A,C,AC,BC,X\},\\
\{\emptyset,B,C,AB,BC,X\},\quad
\{\emptyset,B,C,AC,BC,X\}.
\end{gathered}
\end{equation*}
Tidak ada topologi dengan tepat tujuh himpunan terbuka. Dengan delapan himpunan terbuka terdapat tepat satu, yaitu topologi diskret:
\begin{equation*}
\{\emptyset,A,B,C,AB,AC,BC,X\}=\mathcal P(X).
\end{equation*}