Definisikan \(\mathcal N_x=\{U\in\tau\mid x\in U\}\text{.}\) Keluarga ini tidak kosong sebab \(X\in\mathcal N_x\text{.}\) Karena \(X\) berhingga, himpunan kuasanya \(\mathcal P(X)\) berhingga; akibatnya \(\mathcal N_x\) juga berhingga, katakanlah \(\mathcal N_x=\{U_1,\ldots,U_k\}\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
U_x=U_1\cap\cdots\cap U_k.
\end{equation*}
Aksioma topologi menyatakan irisan berhingga himpunan terbuka terbuka, sehingga \(U_x\in\tau\text{.}\) (Keluarga ini selalu memuat setidaknya satu anggota, jadi tidak perlu memakai konvensi irisan kosong.)