Karena \(A_{1,0}=\Z\text{,}\) setiap bilangan bulat tercakup oleh anggota \(\mathcal C\text{.}\) Sekarang ambil \(B_1=A_{a_1,b_1}\text{,}\) \(B_2=A_{a_2,b_2}\text{,}\) dan \(x\in B_1\cap B_2\text{.}\) Untuk setiap \(y\in A_{a_1a_2,x}\text{,}\) ada \(k\in\Z\) dengan \(y=x+a_1a_2k\text{.}\) Karena \(x\in B_1\text{,}\) ada \(r\in\Z\) sehingga \(x=a_1r+b_1\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
y=a_1(r+a_2k)+b_1\in A_{a_1,b_1}.
\end{equation*}
Dengan cara yang sama, dari \(x=a_2s+b_2\) diperoleh
\begin{equation*}
y=a_2(s+a_1k)+b_2\in A_{a_2,b_2}.
\end{equation*}
Jadi \(y\in B_1\cap B_2\text{.}\) Selain itu, \(x\in A_{a_1a_2,x}\) dan \(a_1a_2\neq0\text{.}\) Syarat irisan basis terpenuhi, sehingga \(\mathcal C\) adalah basis.