Ambil \(a\in A\text{.}\) Untuk setiap \(n\text{,}\) metrik subruang memenuhi \(d_A(a_n,a)=d_X(a_n,a)\text{.}\) Karena itu, bagi setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) keberadaan \(N\) sehingga \(n\geq N\) mengakibatkan \(d_A(a_n,a)\lt\epsilon\) ekuivalen persis dengan syarat yang sama menggunakan \(d_X\text{.}\) Maka konvergensi ke titik \(a\in A\) sama di kedua ruang.

Dalam \(X=\R\text{,}\) tetapkan \(A=(0,1)\) dan \(a_n=1/(n+1)\text{.}\) Semua suku berada di \(A\) dan \(a_n\to0\) di \(X\text{.}\) Akan tetapi, pernyataan “konvergen ke \(0\) di \(A\)” tidak berlaku karena limit suatu barisan di ruang \(A\) harus merupakan unsur \(A\text{,}\) sedangkan \(0\notin A\text{.}\) Contoh ini menunjukkan peran tepat syarat \(a\in A\text{.}\)