Solusi K.42.1.
Untuk setiap \(n\text{,}\) \((x_n-y_n)^2\leq2x_n^2+2y_n^2\text{.}\) Menjumlahkan memberi batas berhingga, jadi \(x-y\in H\) dan \(d\) terdefinisi. Jelas \(d(x,y)\geq0\text{,}\) simetris, dan bernilai nol tepat ketika \(x_n=y_n\) untuk setiap \(n\text{.}\)
Untuk jumlah parsial hingga, perluas \(\sum_{n=1}^N((x_n-y_n)+(y_n-z_n))^2\text{.}\) Cauchy–Schwarz pada suku silang memberi pertidaksamaan Minkowski
\begin{equation*}
\left(\sum_{n=1}^N(x_n-z_n)^2\right)^{1/2}
\leq\left(\sum_{n=1}^N(x_n-y_n)^2\right)^{1/2}
+\left(\sum_{n=1}^N(y_n-z_n)^2\right)^{1/2}.
\end{equation*}
Ketiga jumlah parsial naik menuju jumlah tak hingganya. Melewatkan \(N\to\infty\) menghasilkan \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Jadi \(d\) adalah metrik pada \(H\text{.}\)