Dari pertidaksamaan segitiga di setiap faktor, \(d_i(x_i,z_i)\leq a_i+b_i\text{.}\) Karena semua suku taknegatif,
\begin{align*}
d(x,z)^2 \amp\leq \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\\
\amp=\sum a_i^2+2\sum a_ib_i+\sum b_i^2\\
\amp\leq\sum a_i^2+2\sqrt{\sum a_i^2}\sqrt{\sum b_i^2}+\sum b_i^2\\
\amp=(d(x,y)+d(y,z))^2.
\end{align*}
Pertidaksamaan kedua adalah tepat penggunaan Cauchy–Schwarz. Mengambil akar kuadrat yang taknegatif menghasilkan pertidaksamaan segitiga.