Tulis \(a=d_X(x_1,x_2)\geq0\) dan \(b=d_Y(y_1,y_2)\geq0\text{.}\) Jelas \(\max\{a,b\}\leq\sqrt{a^2+b^2}\leq a+b\text{,}\) dan \(a+b\leq2\max\{a,b\}\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d_\infty\leq d_2\leq d_1\leq2d_\infty.
\end{equation*}
Dari sini, \(B_{d_1}(p,r)\subseteq B_{d_2}(p,r)\subseteq
B_{d_\infty}(p,r)\text{,}\) sedangkan \(B_{d_\infty}(p,r/2)\subseteq B_{d_1}(p,r)\text{.}\) Siklus inklusi tersebut menyediakan, di setiap titik dan untuk setiap bola pada salah satu metrik, bola metrik lain yang termuat di dalamnya. Oleh karena itu ketiga metrik menentukan keluarga himpunan terbuka yang sama.