Jika \(V\) terbuka di \(Y\text{,}\) kekontinuan \(f\) membuat \(f^{-1}(V)\) terbuka di \(X\text{.}\) Identitas \((f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V)\) menunjukkan bahwa prapeta itu terbuka di \(A\text{;}\) jadi \(f|_A\) kontinu.

Untuk bukti epsilon-delta, ambil \(a\in A\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Pilih \(\delta\gt0\) dari kekontinuan \(f\) di \(a\text{.}\) Jika \(x\in A\) dan \(d_A(x,a)\lt\delta\text{,}\) maka \(d_X(x,a)=d_A(x,a)\lt\delta\text{,}\) sehingga \(d_Y(f|_A(x),f|_A(a))\lt\epsilon\text{.}\) Ini membuktikan kekontinuan pembatasan pada setiap titik \(A\text{.}\)