Solusi K.34.1.

Fungsi \(D\) taknegatif karena kedua jarak koordinat taknegatif. Selain itu, \(D((x_1,y_1),(x_2,y_2))=0\) jika dan hanya jika kedua jarak koordinat nol, yaitu jika dan hanya jika \(x_1=x_2\) dan \(y_1=y_2\text{.}\) Ini ekuivalen dengan kesamaan dua pasangan terurut. Simetri \(D\) mengikuti simetri \(d_X\) dan \(d_Y\text{.}\)
Untuk pertidaksamaan segitiga, ambil \(p_i=(x_i,y_i)\in X\times Y\) bagi \(i=1,2,3\text{,}\) lalu tetapkan
\begin{equation*} M_1=D(p_1,p_2),\qquad M_2=D(p_2,p_3). \end{equation*}
Dari definisi maksimum dan pertidaksamaan segitiga koordinat,
\begin{align*} d_X(x_1,x_3) \amp\leq d_X(x_1,x_2)+d_X(x_2,x_3) \leq M_1+M_2,\\ d_Y(y_1,y_3) \amp\leq d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3) \leq M_1+M_2. \end{align*}
Karena kedua bilangan di dalam maksimum yang mendefinisikan \(D(p_1,p_3)\) paling besar \(M_1+M_2\text{,}\) diperoleh
\begin{equation*} D(p_1,p_3)\leq M_1+M_2=D(p_1,p_2)+D(p_2,p_3). \end{equation*}
Jadi \(D\) memenuhi semua aksioma metrik.
in-context