Solusi K.33.1.

Ambil \(X=(\R,d_E)\text{,}\) \(A=(0,1)\text{,}\) dan \(a_n=1/(n+1)\text{.}\) Untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) berlaku \(0\lt a_n\lt1\text{,}\) jadi seluruh suku berada di \(A\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N+1\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka

\begin{equation*} d_E(a_n,0)=\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{N+1}\lt\epsilon. \end{equation*}

Jadi \(a_n\to0\) dalam \(X\text{.}\)

Akan tetapi, konvergensi dalam ruang metrik \(A\) harus mempunyai titik limit yang merupakan unsur \(A\text{.}\) Karena \(0\notin A\text{,}\) ungkapan “konvergen ke \(0\) dalam \(A\)” tidak memenuhi definisi limit di ruang tersebut. Hipotesis yang hilang adalah \(a\in A\text{.}\) Jika hipotesis itu ditambahkan, metrik pembatasan memberikan kesetaraan antara konvergensi di \(A\) dan konvergensi ambien ke titik tersebut.