Solusi K.29.1.
Jika \(f(x)=f(y)\) untuk \(x,y\in E^m\text{,}\) maka \(x_k=y_k\) untuk \(1\leq k\leq m\text{.}\) Untuk \(k\gt m\text{,}\) definisi \(E^m\) memberi \(x_k=y_k=0\text{.}\) Jadi \(x=y\) dan \(f\) injektif.
Sebaliknya, ambil sembarang \(u=(u_1,\ldots,u_m)\in\R^m\) dan bentuk barisan \(\widetilde u=(u_1,\ldots,u_m,0,0,\ldots)\text{.}\) Jumlah kuadrat koordinatnya hanya mempunyai paling banyak \(m\) suku taknol, jadi berhingga; dengan demikian \(\widetilde u\in E^m\text{.}\) Karena \(f(\widetilde u)=u\text{,}\) fungsi \(f\) surjektif. Maka \(f\) bijektif.
Akhirnya, untuk \(x,y\in E^m\text{,}\) semua koordinat keduanya setelah indeks \(m\) bernilai nol. Oleh karena itu
\begin{align*}
d(x,y)^2
\amp=\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\\
\amp=\sum_{k=1}^{m}(x_k-y_k)^2
=d_E(f(x),f(y))^2.
\end{align*}
Kedua jarak taknegatif, sehingga pengambilan akar memberi \(d(x,y)=d_E(f(x),f(y))\text{.}\) Jadi \(f\) merupakan bijeksi yang mempertahankan jarak, dan \(E^m\) adalah salinan isometrik \(\R^m\) di dalam \(H\text{.}\)