Solusi K.28.1.
Panduan 27 menunjukkan bahwa \(x-y\in H\) untuk setiap \(x,y\in H\text{,}\) jadi \(d(x,y)\) terdefinisi dan berhingga. Jelas \(d(x,y)\geq0\text{.}\) Jika \(d(x,y)=0\text{,}\) maka \(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2=0\text{.}\) Semua sukunya taknegatif, sehingga setiap suku harus nol dan \(x_k=y_k\) untuk semua \(k\text{;}\) jadi \(x=y\text{.}\) Implikasi sebaliknya langsung berlaku. Selain itu,
\begin{equation*}
d(x,y)=\left(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\right)^{1/2}
=\left(\sum_{k=1}^{\infty}(y_k-x_k)^2\right)^{1/2}=d(y,x),
\end{equation*}
sehingga \(d\) simetris.
Tinggal membuktikan pertidaksamaan segitiga. Ambil \(x,y,z\in H\text{,}\) lalu tetapkan \(a_k=x_k-y_k\) dan \(b_k=y_k-z_k\text{.}\) Untuk setiap \(N\text{,}\) definisikan
\begin{equation*}
A_N=\sqrt{\sum_{k=1}^{N}a_k^2},\qquad
B_N=\sqrt{\sum_{k=1}^{N}b_k^2}.
\end{equation*}
Cauchy–Schwarz berhingga memberi \(\sum_{k=1}^{N}a_kb_k\leq A_NB_N\text{.}\) Oleh sebab itu
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{N}(x_k-z_k)^2
\amp=\sum_{k=1}^{N}(a_k+b_k)^2\\
\amp=A_N^2+2\sum_{k=1}^{N}a_kb_k+B_N^2\\
\amp\leq A_N^2+2A_NB_N+B_N^2=(A_N+B_N)^2.
\end{align*}
Setelah mengambil akar kuadrat taknegatif, diperoleh
\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{k=1}^{N}(x_k-z_k)^2}\leq A_N+B_N.
\end{equation*}
Ketika \(N\to\infty\text{,}\) ketiga jumlah parsial kuadrat tersebut konvergen ke deret yang mendefinisikan normanya. Kekontinuan fungsi akar kuadrat memberikan
\begin{equation*}
d(x,z)=\lVert x-z\rVert
\leq\lVert x-y\rVert+\lVert y-z\rVert
=d(x,y)+d(y,z).
\end{equation*}
Jadi keempat aksioma metrik terpenuhi dan \(d\) merupakan metrik pada \(H\text{.}\)