Solusi K.27.1.
Untuk bilangan real \(u\) dan \(v\text{,}\) pertidaksamaan \((u+v)^2\geq0\) memberi \(-2uv\leq u^2+v^2\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
(u-v)^2=u^2-2uv+v^2\leq 2u^2+2v^2.
\end{equation*}
Terapkan pertidaksamaan ini dengan \(u=x_k\) dan \(v=y_k\text{.}\) Untuk setiap \(N\in\Z^+\text{,}\) jumlah parsial \(S_N=\sum_{k=1}^{N}(x_k-y_k)^2\) memenuhi
\begin{equation*}
0\leq S_N
\leq 2\sum_{k=1}^{N}x_k^2+2\sum_{k=1}^{N}y_k^2
\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}x_k^2
+2\sum_{k=1}^{\infty}y_k^2.
\end{equation*}
Barisan \((S_N)\) tak menurun karena setiap suku yang ditambahkan taknegatif. Ruas paling kanan merupakan bilangan real berhingga karena \(x,y\in H\text{.}\) Jadi \((S_N)\) tak menurun dan terbatas di atas, sehingga konvergen. Dengan demikian \(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\) berhingga. Menurut definisi \(H\text{,}\) hal ini tepat berarti \(x-y\in H\text{.}\)