Solusi K.25.1.
Himpunan \(S=\{x_n\mid n\in\Z^+\}\) tidak kosong dan terbatas di atas. Berdasarkan kelengkapan bilangan real, terdapat \(L=\sup S\text{.}\) Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(L-\epsilon\lt L\text{,}\) bilangan \(L-\epsilon\) bukan batas atas \(S\text{.}\) Jadi terdapat \(N\in\Z^+\) dengan \(x_N\gt L-\epsilon\text{.}\)
Jika \(n\geq N\text{,}\) sifat tak menurun memberi \(x_N\leq x_n\text{,}\) sedangkan sifat \(L\) sebagai batas atas memberi \(x_n\leq L\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
L-\epsilon\lt x_N\leq x_n\leq L,
\end{equation*}
sehingga \(|x_n-L|=L-x_n\lt\epsilon\text{.}\) Ini berlaku bagi setiap \(n\geq N\text{,}\) jadi definisi konvergensi memberikan \(x_n\to L\text{.}\)