Ketaknegatifan jelas dari definisi. Nilai \(d(x,y)\) sama dengan nol jika dan hanya jika \(d_i(x_i,y_i)=0\) untuk setiap \(i\text{,}\) yang terjadi jika dan hanya jika \(x_i=y_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) yakni \(x=y\text{.}\) Simetri setiap \(d_i\) langsung memberikan \(d(x,y)=d(y,x)\text{.}\)
Sekarang ambil \(x,y,z\in X\) dan gunakan notasi \(a_i,b_i,c_i\) dari petunjuk. Pertidaksamaan segitiga pada \(X_i\) memberi \(c_i\leq a_i+b_i\text{.}\) Karena semua bilangan ini tak negatif dan, berdasarkan Cauchy-Schwarz,
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n a_ib_i
\leq\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2},
\end{equation*}
kita memperoleh
\begin{align*}
d(x,z)^2=\sum_{i=1}^n c_i^2
\amp\leq\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\\
\amp=\sum_{i=1}^n a_i^2
+2\sum_{i=1}^n a_ib_i+\sum_{i=1}^n b_i^2\\
\amp\leq
\left(\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}
+\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right)^2\\
\amp=(d(x,y)+d(y,z))^2.
\end{align*}
Kedua ruas terakhir tak negatif, sehingga pengambilan akar kuadrat memberi \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Jadi \(d\) memenuhi seluruh aksioma metrik.