Solusi K.23.1.
Tuliskan \(p=(x_1,y_1)\) dan \(q=(x_2,y_2)\text{.}\) Karena \(d_X\) dan \(d_Y\) tak negatif, \(d(p,q)\geq0\text{.}\) Selain itu, \(d(p,q)=0\) jika dan hanya jika kedua sukunya nol, yakni jika dan hanya jika \(x_1=x_2\) dan \(y_1=y_2\text{;}\) kondisi ini ekuivalen dengan \(p=q\text{.}\) Simetri kedua metrik koordinat memberi \(d(p,q)=d(q,p)\text{.}\)
Untuk \(r=(x_3,y_3)\text{,}\) pertidaksamaan segitiga pada setiap koordinat memberikan
\begin{align*}
d(p,r)
\amp=d_X(x_1,x_3)+d_Y(y_1,y_3)\\
\amp\leq d_X(x_1,x_2)+d_X(x_2,x_3)
+d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3)\\
\amp=d(p,q)+d(q,r).
\end{align*}
Jadi semua aksioma metrik terpenuhi dan \(d\) merupakan metrik pada \(X\times Y\text{.}\)