Ambil \(x=(x_1,x_2)\in B_1\times B_2\text{.}\) Karena \(d_i(x_i,c_i)\lt r_i\text{,}\) bilangan \(\epsilon_i=r_i-d_i(x_i,c_i)\) positif. Tetapkan \(\epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}\gt0\text{.}\) Jika \(y=(y_1,y_2)\) memenuhi \(d(x,y)\lt\epsilon\text{,}\) maka untuk \(i=1,2\text{,}\)
\begin{equation*}
d_i(x_i,y_i)
\leq\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}
=d(x,y)\lt\epsilon\leq\epsilon_i.
\end{equation*}
Pertidaksamaan segitiga di faktor ke-\(i\) sekarang memberi
\begin{equation*}
d_i(y_i,c_i)
\leq d_i(y_i,x_i)+d_i(x_i,c_i)
\lt\epsilon_i+d_i(x_i,c_i)=r_i.
\end{equation*}
Jadi \(y_i\in B_i\) untuk kedua koordinat, sehingga \(y\in B_1\times B_2\text{.}\) Dengan demikian, \(B(x,\epsilon)\subseteq B_1\times B_2\text{,}\) dan hasil kali itu terbuka. Secara geometris, himpunan terbuka tidak harus berupa satu bola; ia cukup menjadi gabungan bola-bola yang lebih kecil.