Solusi K.12.1.
Jika \(x=y\text{,}\) maka \(x_1=y_1\) dan \(x_2=y_2\text{.}\) Kedua jarak koordinat nol, sehingga \(d(x,y)=0\text{.}\) Sebaliknya, jika \(d(x,y)=0\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2=0.
\end{equation*}
Kedua suku tak negatif, jadi masing-masing harus nol. Definit positif metrik faktor memberi \(x_1=y_1\) dan \(x_2=y_2\text{.}\) Maka \(x=(x_1,x_2)=(y_1,y_2)=y\text{.}\)
Untuk melengkapi verifikasi, ambil \(z=(z_1,z_2)\) dan tulis \(a_i=d_i(x_i,y_i)\) serta \(b_i=d_i(y_i,z_i)\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga di setiap faktor memberi \(d_i(x_i,z_i)\leq a_i+b_i\text{.}\) Oleh karena semua suku tak negatif,
\begin{align*}
d(x,z)^2
\,\amp\leq(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2\\
\,\amp=(a_1^2+a_2^2)+2(a_1b_1+a_2b_2)
+(b_1^2+b_2^2).
\end{align*}
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz yang diterapkan pada pasangan \((a_1,a_2)\) dan \((b_1,b_2)\) memberikan
\begin{equation*}
a_1b_1+a_2b_2
\leq\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}
=d(x,y)d(y,z).
\end{equation*}
Jadi
\begin{equation*}
d(x,z)^2
\leq d(x,y)^2+2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)^2
=\bigl(d(x,y)+d(y,z)\bigr)^2.
\end{equation*}
Kedua ruas berakar tak negatif; mengambil akar kuadrat menghasilkan \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Langkah Cauchy–Schwarz ini membatasi suku silang dengan hasil kali kedua norma; suku silang tersebut tidak boleh dihilangkan.