Ambil sembarang \(a\in O_A\text{.}\) Karena \(a\in O_X\) dan \(O_X\) terbuka di \(X\text{,}\) panduan 7 memberi \(\delta_a\gt0\) dengan \(B_X(a,\delta_a)\subseteq O_X\text{.}\) Panduan 8 kemudian memberi
\begin{equation*}
B_A(a,\delta_a)
=A\cap B_X(a,\delta_a)
\subseteq A\cap O_X
=O_A.
\end{equation*}
Jadi setiap titik \(O_A\) mempunyai bola terbuka di \(A\) yang termuat dalam \(O_A\text{.}\) Menurut definisi, \(O_A\) terbuka di \(A\text{.}\) Ini membuktikan implikasi sebaliknya dari karakterisasi himpunan terbuka dalam subruang.
Untuk membaca arah maju karakterisasi tersebut dengan lingkup yang tepat, radius \(\delta_a\) hanya perlu dipilih, dan hanya dijamin ada, bagi \(a\in O_A\text{;}\) tidak diperlukan pilihan bagi semua \(a\in A\text{.}\) Pembedaan kuantor ini juga menjaga agar keterbukaan di \(A\) tidak tertukar dengan keterbukaan di \(X\text{.}\)