Ambil \(p=(x,0)\in Z\text{.}\) Karena \(0\lt x\lt1\text{,}\) bilangan \(r=\frac12\min\{x,1-x\}\) positif. Jika \(q=(y,0)\in B_A(p,r)\text{,}\) maka \(|y-x|=d_E(p,q)\lt r\text{.}\) Karena \(r\leq x/2\text{,}\) kita memperoleh \(y\gt x-r\geq x/2\gt0\text{.}\) Karena \(r\leq(1-x)/2\text{,}\) kita juga memperoleh \(y\lt x+r\leq(1+x)/2\lt1\text{.}\) Jadi \(q\in Z\text{,}\) sehingga \(B_A(p,r)\subseteq Z\text{.}\) Konstruksi ini berlaku di setiap titik \(Z\text{;}\) oleh sebab itu \(Z\) terbuka di subruang \(A\text{.}\)