Karena \(d\) bernilai real taknegatif, demikian pula \(d'(a_1,a_2)=d(a_1,a_2)\text{.}\) Selanjutnya, \(d'(a_1,a_2)=0\) jika dan hanya jika \(d(a_1,a_2)=0\text{,}\) yang menurut definit positif bagi \(d\) ekuivalen dengan \(a_1=a_2\text{.}\) Simetri memberi
\begin{equation*}
d'(a_1,a_2)=d(a_1,a_2)=d(a_2,a_1)=d'(a_2,a_1).
\end{equation*}
Untuk \(a_1,a_2,a_3\in A\text{,}\) pertidaksamaan segitiga bagi \(d\) di \(X\) memberi
\begin{equation*}
d'(a_1,a_3)=d(a_1,a_3)
\leq d(a_1,a_2)+d(a_2,a_3)
=d'(a_1,a_2)+d'(a_2,a_3).
\end{equation*}
Jadi keempat syarat metrik terpenuhi pada \(A\text{.}\) Walaupun \(d\) dan \(d'\) mempunyai nilai yang sama pada pasangan titik di \(A\text{,}\) keduanya merupakan fungsi berbeda karena domain \(d'\) ialah \(A\times A\text{,}\) bukan \(X\times X\text{.}\)