Jika \(\chi_A\) kontinu, prapeta dua himpunan terbuka \(\{1\}\) dan \(\{0\}\) harus terbuka. Prapeta itu masing-masing adalah \(A\) dan \(X\setminus A\text{.}\) Jadi \(A\) terbuka dan komplemennya terbuka, yang berarti \(A\) juga tertutup.

Sebaliknya, andaikan \(A\) sekaligus terbuka dan tertutup. Maka \(A\) dan \(X\setminus A\) terbuka. Setiap himpunan terbuka dalam ruang diskret \(\{0,1\}\) adalah salah satu dari \(\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\text{;}\) prapetanya berturut-turut \(\emptyset,X\setminus A,A,X\text{,}\) semuanya terbuka. Karena prapeta setiap himpunan terbuka bersifat terbuka, \(\chi_A\) kontinu.