Jika \(x\in\overline A\text{,}\) setiap bola \(B(x,1/n)\) bertemu \(A\text{.}\) Pilih \(a_n\in A\cap B(x,1/n)\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{;}\) jika \(n\geq N\text{,}\) maka \(d(a_n,x)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(a_n\to x\text{.}\) Bila \(x\) terasing, bola yang cukup kecil bertemu \(A\) hanya di \(x\text{,}\) sehingga konstruksi ini akhirnya memilih \(a_n=x\text{;}\) barisan konstan memang harus diizinkan.

Sebaliknya, jika \(a_n\in A\) dan \(a_n\to x\text{,}\) setiap lingkungan \(N\) dari \(x\) memuat suatu bola \(B(x,\epsilon)\text{.}\) Semua suku dengan indeks cukup besar berada dalam bola itu, sehingga \(N\cap A\neq\emptyset\text{.}\) Maka setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{,}\) yakni \(x\in\overline A\text{.}\)