Untuk setiap \(c\in C\text{,}\) \(d(x,c)\leq d(x,y)+d(y,c)\text{.}\) Mengambil infimum atas \(c\) memberi \(\delta_C(x)\leq d(x,y)+\delta_C(y)\text{,}\) jadi \(\delta_C(x)-\delta_C(y)\leq d(x,y)\text{.}\) Menukar \(x\) dan \(y\) menghasilkan pertidaksamaan lawan; keduanya setara dengan \(|\delta_C(x)-\delta_C(y)|\leq d(x,y)\text{.}\) Maka \(\delta_C\) kontinu.

Jika \(x\in\overline C\text{,}\) setiap \(B(x,1/n)\) bertemu \(C\text{,}\) sehingga \(0\leq\delta_C(x)\lt1/n\) untuk semua \(n\) dan \(\delta_C(x)=0\text{.}\) Sebaliknya, jika \(\delta_C(x)=0\text{,}\) untuk setiap \(n\) ada \(c_n\in C\) dengan \(d(x,c_n)\lt1/n\text{;}\) jadi setiap lingkungan \(x\) bertemu \(C\) dan \(x\in\overline C\text{.}\)