Jelas \(\emptyset\) dan \(\R\) keduanya terbuka dan tertutup. Andaikan ada \(A\) lain dengan kedua sifat itu. Pilih \(a\in A\) dan \(b\notin A\text{.}\) Setelah menukar arah garis bila perlu, kita dapat menganggap \(a\lt b\text{.}\) Himpunan \(S=A\cap[a,b]\) tak kosong dan terbatas atas; tulis \(s=\sup S\text{.}\) Karena komplemen \(A\) terbuka dan memuat \(b\text{,}\) ada interval di sekitar \(b\) yang tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga \(s\lt b\text{.}\) Karena \(A\) terbuka dan memuat \(a\text{,}\) ada titik \(A\) di kanan \(a\text{,}\) sehingga \(s\gt a\text{.}\)

Jika \(s\in A\text{,}\) keterbukaan \(A\) memberi titik \(A\cap[a,b]\) yang lebih besar dari \(s\text{,}\) bertentangan dengan sifat batas atas. Jika \(s\notin A\text{,}\) keterbukaan komplemen memberi interval di sekitar \(s\) tanpa titik \(A\text{;}\) tetapi definisi supremum menuntut titik \(S\) sedekat apa pun di bawah \(s\text{.}\) Keduanya mustahil. Jadi tidak ada \(A\) seperti itu.