Tetapkan \(x\notin\bigcup_{\alpha\in I}C_\alpha\text{.}\) Pilih \(\epsilon_x\gt0\) sehingga \(B(x,\epsilon_x)\) bertemu hanya dengan, katakanlah, \(C_{\alpha_1},\ldots,C_{\alpha_k}\text{.}\) Karena \(x\) tidak berada dalam satu pun himpunan itu dan masing-masing tertutup, panduan 72 memberi \(\delta_i=d(x,C_{\alpha_i})\gt0\text{.}\) Jika \(k=0\text{,}\) bola awal sudah tidak bertemu gabungan. Jika \(k\gt0\text{,}\) ambil
\begin{equation*}
r=\frac12\min\{\epsilon_x,\delta_1,\ldots,\delta_k\}\gt0.
\end{equation*}
Bola \(B(x,r)\) berada dalam bola awal, sehingga tidak dapat bertemu anggota keluarga selain daftar berhingga tersebut; pilihan \(r\lt\delta_i\) juga membuatnya tidak bertemu satu pun anggota dalam daftar. Jadi \(B(x,r)\) terletak di komplemen gabungan. Komplemen itu terbuka, maka gabungannya tertutup.