Karena \(C\) tertutup, \(X\setminus C\) terbuka. Dari \(x\in X\setminus C\text{,}\) terdapat \(r\gt0\) sedemikian sehingga \(B(x,r)\subseteq X\setminus C\text{.}\) Jadi tidak ada \(c\in C\) dengan \(d(x,c)\lt r\text{;}\) dengan kata lain, \(d(x,c)\geq r\) untuk setiap \(c\in C\text{.}\) Mengambil infimum menghasilkan \(d(x,C)=\inf_{c\in C}d(x,c)\geq r\gt0\text{.}\)