Misalkan \(b\in\Bdry(A)\text{.}\) Jika \(b\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(b\) bertemu \(A\text{,}\) dan setiap titik pertemuan berbeda dari \(b\text{.}\) Maka \(b\) adalah titik limit. Jika \(b\in A\) dan \(b\) terasing, kesimpulan sudah diperoleh. Jika \(b\in A\) tetapi tidak terasing, tidak ada lingkungan \(N\) dengan \(N\cap A=\{b\}\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(b\) memuat titik \(A\) selain \(b\text{,}\) sehingga \(b\) adalah titik limit. Ketiga kemungkinan menuntaskan bukti.