Andaikan \(C\) tertutup dan \(x\notin C\text{.}\) Komplemen \(C\) terbuka, sehingga ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\cap C=\emptyset\text{.}\) Jadi \(d(x,c)\geq r\) untuk setiap \(c\in C\text{,}\) dan \(d(x,C)\geq r\gt0\text{.}\) Kontraposisinya memberi arah yang diminta.

Sekarang andaikan sifat jarak nol berlaku. Jika \(x\in\overline C\text{,}\) maka untuk setiap \(n\) terdapat \(c_n\in C\cap B(x,1/n)\text{.}\) Karena \(0\leq d(x,C)\leq d(x,c_n)\lt1/n\) untuk semua \(n\text{,}\) berlaku \(d(x,C)=0\text{,}\) sehingga \(x\in C\text{.}\) Maka \(\overline C\subseteq C\text{;}\) inklusi sebaliknya selalu benar, jadi \(C=\overline C\) dan \(C\) tertutup.