Karena \(b\) adalah titik batas, setiap lingkungan \(b\) memuat titik dari \(A\) dan titik dari komplemennya. Jadi, untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) pilihan \(a_n\in A\cap B(b,1/n)\) dan \(x_n\in(X\setminus A)\cap B(b,1/n)\) memang tersedia. Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d(a_n,b)\lt 1/n\leq1/N\lt\epsilon
\quad\text{dan}\quad
d(x_n,b)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon.
\end{equation*}
Definisi konvergensi memberi \(a_n\to b\) dan \(x_n\to b\text{.}\)